关于 Shnirelman 不等式的另一种方法

本文检视了离散 Shnirelman 不等式 [Shnirelman A., 1985]，该不等式将流体两个离散配置之间的 $L^2$ 距离与连接它们的向量场的 $L^1_tL^2_x$ 范数相关联。我们的证明灵感来自 [Shnirelman A., 1985]，其中得到 $\alpha=\frac{1}{64}$ 在二维维数 $\nu=2$ 的情况下，而本文得到 $\alpha\geq\frac{2}{7}$。此外，我们证明在任意维数 $\nu\geq 3$ 时，都有 $\alpha\geq\frac{1}{\nu+1}$。我们指出，尽管这并不改善连续版本中的下界，即已证明 $\alpha\geq\frac{2}{4+\nu}$，其中 $\nu\geq 3$，但我们的下界是二维情形中已取得的最佳结果。我们的方法基于置换体积估计，这种方法计数置换 $P$ 移动的 maximum 立方体的数量。