利用 Stein 方法在 Wasserstein-1 距离下逼近稳定律

设 $n \in \mathbb N$，$\zeta_{n,1},...,\zeta_{n,n}$ 为一列独立随机变量，对每个 $i$ 满足 $\mathbb E \zeta_{n,i}=0$ 且 $\mathbb E |\zeta_{n,i}|<\infty$，设 $\mu$ 为特征函数为 $e^{-|\lambda|^{\alpha}}$ 的 $\alpha$-稳定分布，其中 $\alpha\in (1,2)$。记 $S_{n}=\zeta_{n,1}+...+\zeta_{n,n}$ 及其分布为 $\mathcal L(S_n)$，我们将 $\mathcal L(S_{n})$ 与 $\mu$ 的 Wasserstein 距离本质上界定为两个核之间的 $L^{1}$ 差异，该界限可解释为 Ledoux、Nourdin 和 Peccati 引入的 Stein 差异（在 $L^{2}$ 意义下）的推广。更确切地说，我们证明了以下不等式：\begin{equation} \begin{split} d_W\left(\mathcal L (S_n), \mu\right) \ \le C \left[\sum_{i=1}^n\int_{-N}^N \left|\frac{\mathcal K_\alpha(t,N)}n -\frac{ K_i(t,N)}{\alpha}\right| d t \ +\ \mathcal R_{N,n}\right], \end{split} \end{equation} 其中 $d_{W}$ 是概率测度的 Wasserstein 距离，$\mathcal K_\alpha(t,N)$ 是分数阶拉普拉斯算子 $\Delta^{\frac \alpha2}$ 分解的核，$K_i(t,N)$ 是 Chen、Goldstein 和 Shao 引入的具有截断的核，可解释为 $L^1$ Stein 核，而 $\mathcal R_{N,n}$ 是一个小余项。积分项 $$\sum_{i=1}^n\int_{-N}^N \left|\frac{\mathcal K_\alpha(t,N)}n -\frac{ K_i(t,N)}{\alpha}\right| d t$$ 可解释为 $L^{1}$ Stein 差异。作为应用，当 $\zeta_{n,i}$ 独立同分布且其分布落在 $\mu$ 的正则吸引域时，我们证明了一个关于稳定律收敛速率的一般定理。我们还研究了四个示例，比较了我们的收敛速率与这些示例已知的收敛速率，其中第二个示例中的分布不在 $\mu$ 的正则吸引域内。