离散网络中的不可压缩流动与 Shnirelman 不等式

设 $f$ 和 $g$ 为立方体 $Q=[0,1]^{\nu}$ 上的两个保体积微分同胚映射，其中 $\nu \geq 3$。我们证明存在一个发散自由向量场 $v \in L^1((0,1);L^p(Q))$ 使得 $v$ 通过相应的流动连接 $f$ 和 $g$，且 $\Vert v \Vert_{L^1_t L^p_x} \leq C_{p,\nu} \Vert f- g \Vert_{L^p_x}$。特别是我们证明了 Shnirelman 不等式（参见 [Shnirelman, Generalized fluid flows, their approximation and applications (1994)]），其中最优 Hölder 指数 $\alpha =1$，从而证明了立方体 $Q$ 上体积保微分同胚群上的度量等价于 $L^2$ 距离。为实现这一目标，我们离散化问题，运用离散网络中的流动结果，然后构造非离散空间-时间中的流动。