An accurate approach to determining the spatiotemporal vehicle load on bridges based on measured boundary slopes

本文发展了一种新型数学模型，用于基于桥梁两端斜率测量值来评估长桥梁的时空车辛荷载。该模型基于具有内阻和外阻的欧拉-伯恩斯坦梁模型。对该现象的数学建模导致确定时空变系数欧拉-伯恩斯坦方程中的时空车辛荷载$\\rho_A(x)u_{tt}+\\mu(x) u_{t}+(r(x)u_{xx})_{xx}+(\\kappa(x)u_{xxt})_{xx}=F(x,t)$，$(x,t)\in \\Omega_T:=(0,\\ell)\\times (0,T)$，受制于简支边界条件$u(0,t)=(r(x)u_{xx}+(\\kappa(x)u_{xxt})_{x=0}=0$，$u(\\ell,t)=(r(x)u_{xx}+(\\kappa(x)u_{xxt})_{x=\\ell}=0)$，从而从测得的输出：$\\theta_1(t):=u_x(0,t)$和$\\theta_2(t):=u_x(\\ell,t)$，即测得的边界斜率。我们证明了对应于逆问题的输入-输出映射$(\\Phi F)(t):=u_x(0,t;F)$，$(\\Psi F)(t):=u_x(\\ell,t;F)$，$F \\in \\mathcal{F}\\subset L^2(\\Omega_T)$，是紧致且Lipschitz连续的。随后引入Tikhonov函数$J(F)=\\Vert \\Phi F-\\theta_1 \\Vert_{L^2(0,T)}^2+\\Vert \\Psi F-\\theta_2 \\Vert_{L^2(0,T)}^2$来证明逆问题的准解的存在性。推导了Tikhonov函数的Fr\\'{e}ché导数的显式梯度公式。证明了Fr\\'{e}ché梯度的Lipschitz连续性，保证了梯度方法迭代的单调性。