在含 Kelvin-Voigt 阻尼的 Euler-Bernoulli 梁中辨识未知横向剪切力的反问题

本文研究在阻尼 Euler-Bernoulli 方程 $\rho(x)u_{tt}+\mu(x)u_t+ (r(x)u_{xx})_{xx}+ (\kappa(x)u_{xxt})_{xx}=0, ~(x,t)\in (0,\ell)\times(0,T],$ 所支配的系统中，由测得的挠度 $\nu(t):=u(\ell,t)$, $t \in [0,T]$ 与弯矩 $\omega(t):=-\left( r(0)u_{xx}(0,t)+\kappa(0)u_{xxt}(0,t) \right)$, $t \in [0,T]$ 确定未知横向剪切力 $g(t)$ 的反问题，边界条件为 $u(0,t) =0$, $u_{x}(0,t)=0$, $\left[r(x)u_{xx}+\kappa(x)u_{xxt}\right]_{x=\ell} =0$, $-\left[\big(r(x)u_{xx}+\kappa(x)u_{xxt}\big)_{x}\right]_{x=\ell}=g(t)$, $t\in [0,T]$，其中项 $(\kappa(x)u_{xxt})_{xx}$ 与 $\mu(x)u_t$ 分别表征 Kelvin-Voigt 阻尼与外阻尼。本研究主要目的是分析 Kelvin-Voigt 阻尼对通过给定边界测量确定未知横向剪切力（边界输入）的影响。将这些反问题转化为 Tikhonov 泛函的最小化问题，并证明正则化泛函对反问题存在唯一解。通过对容许剪切力类 $g(t)$ 的适当正则性假设，我们证明这些泛函是 Fr\'echet 可微的，且其导数通过以测量数据作为与原问题相关的边界数据的相应伴随问题的解来表达。在边界数据 $g(t)$ 的最小正则性下获得了这些伴随问题的可解性，这正体现了原问题中 Kelvin-Voigt 阻尼的正则化效应。