曲线的阿米巴与Lyashko-Looijenga映射

对于环面曲面$X$中的任意曲线$\mathcal{V}$，我们研究了从$\mathcal{V}$到其紧化阿米巴$\mu(\mathcal{V})$的矩映射$\mu$的临界轨迹$S(\mathcal{V})$。我们证明，对于固定完全线性系统中的曲线$\mathcal{V}$，临界轨迹$S(\mathcal{V})$除了在一些实余维数为$1$的墙上是光滑的。然后，我们研究了当$\mathcal{V}$和$S(\mathcal{V})$光滑时，对$(\mathcal{V},S(\mathcal{V}))$的拓扑分类。作为主要工具，我们使用了相对于对数高斯映射$\gamma : \mathcal{V} \rightarrow \mathbb{C}P^1$的Lyashko-Looijenga映射（$\mathcal{LL}$）。我们证明了关于$\mathcal{LL}$的两个对研究至关重要的陈述：映射$\mathcal{LL}$是代数的；映射$\mathcal{LL}$可扩展到节点曲线。这使我们能够通过扰动节点曲线来构造许多对$(\mathcal{V},S(\mathcal{V}))$的例子。