Furstenberg 边界上的交错上链与可测上同调

Nicolas Monod 证明了连通半单李群 $G$ 在其 Furstenberg 边界 $G/P$ 上的作用的可测上同调与 $G$ 的可测上同调之间的求值映射 $$H^*_m(G\curvearrowright G/P)\longrightarrow H^*_m(G)$$ 是满射，且在一个依赖于 $G$ 且小于或等于 $G$ 的秩加 $2$ 的常数以下的所有次数中具有非平凡核。当我们寻找该核中类的显式代表时，我们惊讶地发现其中一些非平凡类具有平凡交错性。在本文中，我们通过辨识该核中的非交错与上同调类来精炼 Monod 的结果。作为推论，我们证明对大多数李群，即 Weyl 群的最长元素在 $G$ 的极大分裂环面 $A$ 的李代数上作用为 $-1$ 的那些群，有 $H^*_m(G)$ 同构于 $G$ 在 $G/P$ 上作用的交错可测上同调，在所有偶数次下 $$H^{2k}_{m,\mathrm{alt}}(G\curvearrowright G/P)\cong H^{2k}_m(G)$$。