二阶分层李群的 $\alpha$-调制空间

我们定义并研究了与具有有理结构常数的二阶分层李群 $G$ 相关的 $\alpha$-调制空间 $M_{p,q}^{s,\alpha}(G)$。这是欧氏 $\alpha$-调制空间 $M_{p,q}^{s,\alpha}(\mathbb{R}^n)$ 的推广，后者作为时频分析中调制空间（$\alpha = 0$）与调和分析中 Besov 空间（$\alpha = 1$）之间的中间空间。我们将说明 $G$ 上的群结构与伸缩结构影响边界情形 $\alpha = 0,1$，此时空间 $M_{p,q}^{s}(G)$ 与 $\mathcal{B}_{p,q}^{s}(G)$ 具有非标准的平移与伸缩对称性。此外，我们证明空间 $M_{p,q}^{s,\alpha}(G)$ 是非平凡的，且通常不同于其欧氏对应空间。最后，我们考察了 $\alpha = 0$ 情形 $M_{p,q}^{s}(G)$ 所依赖的覆盖 $\mathcal{Q}(G)$ 的度量几何如何允许几何嵌入 $$F:M_{p,q}^{s}(\mathbb{R}^k) \longrightarrow{} M_{p,q}^{s}(G)$$ 的存在，只要 $k$（仅依赖于 $G$）足够小。我们的方法自然引出了若干开放问题，文末对此作了进一步阐述。