$\alpha$-大族及其在 Banach 空间理论中的应用

对每个可数序数 $\alpha$，定义了无限集有限子集的 $\alpha$-大族概念，扩展了已知的大族概念。$\alpha$-大族的定义基于 Schreier 族 $\mathcal{S}_{\alpha}, \alpha<\omega_1$ 的超限层次结构。我们证明了此类族在基数 $2^{\aleph_0}$ 上的存在性并研究了其性质。作为应用，基于这些族我们构造了一个自反空间 $\mathfrak{X}_{2^{\aleph_0}}^{\alpha}$，$\alpha<\omega_1$，其密度为连续统，使得每个有界非范数收敛序列 $\{x_k\}_k$ 都有一个生成 $\ell_1^{\alpha}$ 作为扩散模型 (spreading model) 的子序列。