RCD(K, N) 空间中以紧集为中心的环域的几乎体积锥蕴涵几乎度量锥

在 \cite{CC1} 中，Cheeger-Colding 考虑了具有 Ricci 曲率下界流形，并给出了关于扭曲积的一些几乎刚性结果，包括几乎度量锥刚性与定量分裂定理。作为具有 Ricci 曲率下界流形的推广，对 $RCD(K, N)$（$1<N<\infty$）中的度量测度空间，分裂定理 \cite{Gi13} 以及关于点的球与环域的“体积锥蕴涵度量锥”刚性 \cite{PG} 已被证明。在本文中，我们将把 Cheeger-Colding \cite{CC1} 关于“紧子集环域的几乎体积锥蕴涵几乎度量锥”的结果推广到 $RCD(K, N)$-空间。更确切地说，考虑 $RCD(K, N)$-空间 $(X, d, \mathfrak m)$ 与 Borel 子集 $\Omega\subset X$。若闭子集 $S=\partial \Omega$ 具有有限外曲率，直径 ${diam}(S)\leq D$ 且 $S$ 的平均曲率满足 $$m(x)\leq m, \, \forall x\in S,$$ 且 \begin{equation*}\mathfrak m(A_{a, b}(S))\geq (1-\epsilon)\int_a^b \left({sn}'_H(r)+ \frac{m}{n-1}{sn}_H(r)\right)^{n-1}dr \mathfrak m_S(S)\end{equation*} 则 $A_{a', b'}(S)$ 在测度 Gromov-Hausdorff 意义下接近于扭曲积 $(a', b')\times_{{sn}'_H(r)+ \frac{m}{n-1}{sn}_H(r)}Y$，其中 $A_{a, b}(S)=\{x\in X\setminus \Omega, \, a<d(x, S)<b\}$，$a<a'<b'<b$，$Y$ 为具有有限分支的度量空间，当 $m=0, K=0$ 时每个分支是 $RCD(0, N-1)$-空间，其他情形是 $RCD(N-2, N-1)$-空间，且 $H=\frac{K}{N-1}$。注意当 $m=0, K=0$ 时，我们的结果是一种定量分裂定理，其他情形则是几乎度量锥刚性。为证明此结果，与 \cite{Gi13, PG} 不同，我们将使用 \cite{GiT} 的二阶微分公式以及类似于 \cite{CC1} 的方法。