多项式 $G_r T$-模的几乎分裂序列与 Auslander-Reiten 分支的多项式部分

1996 年，Doty、Nakano 和 Peters 定义了无穷小 Schur 代数，结合了通过多项式表示与通过 $G_r T$-模来研究代数群 $G = \mathrm{GL}_n$ 表示的方法。我们通过将 $G_r T$ 和 $B_r T$ 的多项式表示范畴分别视为 $\mathrm{mod} \thinspace G_r T$ 和 $\mathrm{mod}\thinspace B_r T$ 的满子范畴，研究了这些代数及其针对约化代数群 $G$ 和 Borel 子群 $B$ 的 Auslander-Reiten 理论的类比。我们证明了 $\mathrm{mod}\thinspace G_r T$ 的稳定 Auslander-Reiten 箭图 $\Gamma_s(G_r T)$ 的每个分量 $\Theta$，若其构成元具有复杂度 1，则仅包含有限多个多项式模。对于 $G = \mathrm{GL}_2$，$r = 1$ 且 $T \subseteq G$ 为对角矩阵环面的情形，我们确定了 $G_r T$ 的稳定 Auslander-Reiten 箭图的多项式部分，并借此确定了该情形下无穷小 Schur 代数的 Auslander-Reiten 箭图。对于 $\mathrm{GL}_2$ 的下三角矩阵 Borel 子群 $B$，$B_r T$-模范畴与秩为 $r$ 的初等阿贝尔群的表示相关。在此情况下，我们可以将关于复杂度 1 的模的结果推广到作为外张量积出现的高阶 Frobenius 核的模。