一类应变能下非线性弹性动力学系统弱解的整体存在性

本文旨在证明对于满足给定假设的一类应变能密度函数，在 $d=2$ 或 $3$ 维中，非线性弹性动力学系统的非定常弱解的整体存在性。这些假设被主要考虑的应变能所满足。假设区域是有界的，并考虑了混合边界条件。我们的方法基于一种非线性抛物正则化技术，涉及 $p$-Laplace 算子。首先，我们通过不动点技巧证明了正则化系统局部时间解的存在性。接下来，利用能量估计，我们证明如果数据足够小，被 $\varepsilon > 0$ 所界，那么最大存在时间不依赖于抛物正则化参数，且寿命 $T$ 的行为为 $\gtrsim \log(1/\varepsilon)$，这定义了本文所称的「整体存在性」。因此通过令该参数趋于零得到解。证明的关键点得益于 Ciarlet & Mardare 在 $\mathrm{W}^{1,p}$ 空间中证明的近期非线性 Korn 不等式，其中 $p>2$。