三角国中的爱丽丝：刘易斯·卡罗尔枕头问题及其在三角形状空间上的变体求解

我们对刘易斯·卡罗尔的枕头问题——即一个三角为钝角三角形的概率 Prob(Obtuse) 为多少——给出了自然的回答。这通过直接结合 a) Kendall 定理（所有三角形的空间是一个球面）与 b) 将空间中的三角形送到该形状球面上点的自然映射而得。答案为 3/4。此外，我们的方法易于推广到更广泛的一类问题，因为 a) 与 b) 均有诸多应用并容许大的推广：形状理论。因此需要一个初等从而广为可及的形状理论原型，而通过展示 b) 可轻易求解刘易斯·卡罗尔著名的枕头问题来扩展 Kendall 已引人注目的原型 a)，确实提供了一个令人难忘且强得多的原型。此即一个原型：将空间中直接实现的平面几何问题映射到形状空间，在那里微分几何工具可轻易求解问题，并最终以原初的“空间中形状”术语重新解释。我们提出并求解若干枕头问题变体以阐明该方案的通用性。我们首先求得 Prob(等腰为钝角)。随后我们将高瘦与扁平三角形定义为以正三角形为界，其底与中线之比等于等边三角形者。这些定义具有 Jacobian 与 Hopf 动机，并进入 Kendall 自身对“splinters”（近乎共线三角形）的考量。我们发现 Prob(高瘦) = 1/2 = Prob(扁平) 可从正则性在形状空间中的对称实现立即看出。然而，Prob(钝角且扁平)、Prob(钝角为扁平) 以及有关同时具有上述任意两个性质或以一个性质 conditioned on 另一性质的所有其他非平凡表达式，构成枕头问题的非平凡变体，我们将它们全部求解。