随机三角形究竟如何

Charles L. Dodgson，即 Lewis Carroll，在其 1893 年的著作《枕边问题》中询问了随机三角形为钝角的可能性。显然，Dodgson 问题的答案在很大程度上取决于所假设的随机分布。在本文中，我们证明 nevertheless 存在某些由欧几里得空间几何性质施加的基本限制。具体而言，我们给出了从 $\mathbb{R}^d$ 中的分布抽取时，钝三角形不可能出现的概率的普适下界。我们证明了平面钝角三角形的概率不可能低于 1/3，并构造了一个概率为 4/9 的分布。在三维及更高维空间中也给出了类似结果，其中钝角三角形的概率可以越来越低。下界的尖锐性留作开放问题。