晶格三角形的稀缺性

一个有理三角形$T$（其角为$\pi$的有理倍数）展开为平面翻译曲面$(X_T,\omega_T)$。晶格三角形问题旨分类那些$(X_T,\omega_T)$为Veech（晶格）曲面的$T$，即$(X_T,\omega_T)$的$\operatorname{SL}_2(\mathbb R)$-轨迹在其层中是封闭的（其投影到模空间为Teichm"uller曲线）。最神秘的区间是"硬 obtuse 窗口"（最大角在$\pi/2,2\pi/3$区间内），据 conjecture该区间不存在晶格三角形。我们通过Mirzakhani-Wright秩阻挡的算术重表述，证明了一个定量定理，排除了该窗口中除密度为0的子集外的所有三角形。本文的主要引擎由AxiomProver在Lean中自动形式化（使用mathlib）。