亏格零曲面轨道构型空间上与有限群相关的代数不变量

我们考虑与有限群相关的轨道构型空间，这些群通过保持定向的同胚自由作用于去掉有限个点的 $2$-球面上。这样的作用等价于有限子群 $G\subset \mathrm{PGL}(\mathbb{C}^2)$ 在去掉一个 $G$ 稳定的有限集 $Z$ 的复射影直线 $\mathbb{P}^1$ 上的单应作用。我们计算了轨道构型空间 $C_n^G(\mathbb{P}^1 \setminus Z)$ 的上同调环和庞加莱级数。这可以看作是 Arnold 关于经典构型空间 $C_n(\mathbb{C})$ ($(G,Z)=(\{1\},\infty$)) 工作的推广。这项工作表明 $C_n^G(\mathbb{P}^1\setminus Z)$ 在有理同伦论意义下是形式的。我们还证明了存在一个 LCS 公式，将 $C_n^G(\mathbb{P}^1\setminus Z)$ 的庞加莱级数与 $C_n^G(\mathbb{P}^1 \setminus Z)$ 基本群的下中心序列逐次商群的秩联系起来。这些逐次商群对应于作者在早期工作中引入的分次李代数的齐次元素。该公式对于 $\mathbb{C}$ 的经典构型空间也是已知的，其中基本群是 Artin 辫群，且秩对应于 Kohno-Drinfeld 李代数的齐次元素的维数。