关于曲面的轨道构型空间的模型

我们考虑轨道构型空间 $C_n^G(S)$，其中 $S$ 是通过从闭可定向曲面 $\bar{S}$ 中移除有限个点（最终可无）得到的曲面，$G$ 是在 $S$ 上自由连续作用的有限群。我们证明由投影到前 $k$ 个坐标得到的纤维化 $\pi_{n,k} : C_{n}^G(S) \to C_k^G(S)$ 是一个有理纤维化。由此，空间 $C_{n}^G(S)$ 具有 Sullivan 模型 $A_{n,k}=\Lambda V_{C_k^G(S)}\otimes \Lambda V_{C_{n-k}^G(S_{G,k})}$，适配于 cdga 序列：$\Lambda V_{C_k^G(S)}\to A_{n,k} \to \Lambda V_{C_{n-k}^G(S_{G,k})},$ 其中 $\Lambda V_X$ 表示 $X$ 的极小模型，$C_{n-k}^G(S_{G,k})$ 是 $\pi_{n,k}$ 的纤维。我们表明除当 $S\simeq S^2$ 的某些情形外该模型是极小的，并在所有情形中计算了 $C_n^G(S)$ 的高阶 $\psi$-同伦群（与极小模型的生成元相关）。我们从该计算推得：具有有限 Betti 数的 $C_n^G(S)$ 是有理 $K(\pi,1)$，即其极小模型与 $1$-极小模型相同（或等价地 $\psi$-同伦空间在大于 $2$ 的度上消失），当且仅当 $S$ 不同胚于 $S^2$。特别地，对于不同胚于 $S^2$ 的 $S$，极小模型（同构于 $1$-极小模型）完全由 $\pi_1 C_n^G(S)$ 的 Malcev 李代数决定。当 $A_{n,k}$ 为极小时，我们得到 Malcev 李代数的正合序列 $0\to L_{C_{n-k}^G(S_{G,k})}\to L_{C_{n}^G(S)}\to L_{C_k^G(S)}\to 0$，其中 $L_X$ 是 $\pi_1X$ 的 Malcev 李代数。对于 $S \varsubsetneq \bar{S}=S^2$ 且 $G$ 由保向同胚作用的情形，我们证明 $C_n^G(S)$ 的上同调环是 Koszul 的，且对于其中某些空间，其极小模型可由应用于早先工作中计算的分次李代数的 Cartan-Chevally-Eilenberg 构造得到。