Abel 微分方程中心 - 焦点问题的代数几何

具有多项式系数 $p,q$ 的 Abel 微分方程 $y'=p(x)y^3 + q(x) y^2$，若其所有初值 $y(a)$ 足够小的解均满足条件 $y(a)=y(b)$，则称其在 $[a,b]$ 上具有中心。给出 $(p,q,a,b)$ 的条件以蕴含 Abel 方程具有中心的问题，类比于平面向量场的经典 Poincar\'e 中心 - 焦点问题。中心条件由一个无限的“中心方程”系统提供。通过对两个相关结构——复合代数和矩方程（中心方程的一阶近似）——的详细分析，已获得关于这些方程的重要新信息。最近，该方向的一个基本开放问题——“多项式矩问题”——已在\cite{mp1,pak} 中得到完全解决。在本文中，我们在以下两个主要方向取得了进展：首先，我们将\cite{mp1,pak} 的结果转化为中心方程的代数几何语言。在此基础上，我们获得了关于中心条件的新信息，特别是显著扩展了\cite{broy} 的结果。其次，我们研究了“第二 Melnikov 系数”（中心方程的二阶近似），表明在许多情况下，矩和这些系数的消失足以完全刻画中心。