中心-焦点问题的一个逆方法

经典的 Center-Focus 问题由 H. Poincaré 在 19 世纪 80 年代提出，关注的是平面多项式向量场 $X=(-y+P(x,y))\dfrac{\partial}{\partial x}+(x+Q(x,y))\dfrac{\partial}{\partial y},$ 其中 $P(0,0)=Q(0,0)=0,$ 的刻画，要求其所有积分轨迹均为闭曲线，其内部包含一个称为中心的固定点，或者其所有积分轨迹均为称为焦点的螺线。在本文中，我们陈述并研究了 Center-Focus 问题的逆问题，即，我们要求确定解析平面向量场 $X$，使得对于给定的 Liapunov 函数 $$V=V(x,y)=\dfrac{\lambda}{2}(x^2+y^2)+\displaystyle\sum_{j=3}^{\infty} H_j(x,y),$$ 其中 $H_j=H_j(x,y)$ 是 j 次齐次多项式，以下等式成立 $$X(V)=\displaystyle\sum_{j=3}^{\infty}V_j(x^2+y^2)^{j+1},$$ 其中 $V_j$（对于 $j\in\mathbb{N}$）是 Liapunov 常数。我们特别研究了原点为中心且向量场为多项式的情形。