代数几何与 Bethe ansatz (I) BAE 的商环

在本文及后续文章中，我们利用现代计算代数几何对可积模型的 Bethe ansatz 方程展开了系统研究。我们证明，代数几何为理解 Bethe ansatz 方程解空间的结构提供了自然的数学语言与有力工具。特别地，我们找到了基于 Gröbner 基与商环来计数 Bethe ansatz 方程解的个数的新颖高效方法。我们还发展了基于友矩阵的解析方法，可在不显式求解 Bethe ansatz 方程的情况下，对所有物理解上的在壳量求和。为展示我们方法的威力，我们重新审视了 Heisenberg 自旋链 Bethe ansatz 的完备性问题，并计算了平面 $\mathcal{N}=4$ super-Yang-Mills 理论中 OPE 系数的求和规则。