AGT 与 Segal-Sugawara 构造

Alday、Gaiotto 和 Tachikawa 的猜想及其推广已在数学上被表述为：$W$ 代数作用于瞬子模空间的上同调或 $K$ 理论，并配以一个 Whittaker 向量。然而，原始猜想还预言了与“$Ext^1$ 算符”的自然高秩版本之间的交织性质，该算符此前由 Okounkov 和作者在 [CO] 中研究过，这一结果现在有时被称为秩一情形下的 AGT [Alb, PSS]。在物理上，这对应于在 Nekrasov 配分函数中加入物质，这在物理理论中显然是一个重要特征。因此，研究 $Ext^1$ 算符如何与高秩情形下上同调上的上述结构相关联，并在可能的情况下找到一种使 AGT 猜想作为推论得出的表述，是很有意义的。在本文中，我们利用修改的 Segal-Sugawara 构造对在 Okounkov 和 Nekrasov 关于秩二 Nekrasov 猜想的证明 [NO] 中出现的 $\hat{\mathfrak{sl}}_2\mathbb{C}$ 结构执行了类似的操作。这立即蕴含了中心荷为一时的 AGT 恒等式，该情形对弦理论家尤为关注，并且由于 Seiberg-Witten 曲线在此设定中的自然出现，参见例如 Dijkgraaf 和 Vafa [DV] 以及 [IKV]。