仿射根系、稳定管与 Geiss-Leclerc-Schr"{o}er 猜想

关联于一个可对角化 Cartan 矩阵 $C$，Geiss-Leclerc-Schr"{o}er 构造并研究了一类 Iwanaga-Gorenstein 代数 $H$。他们证明了 Gabriel 定理的一个推广版本，即当 $C$ 为有限型时，$\tau$-局部自由 $H$-模的秩向量是 $C$ 型的正根，并猜想这对任意 $C$ 都成立。在本文中，我们研究了当 $C$ 为仿射型时该猜想的情况。我们显式地构造了稳定管，其中一些具有刚性口模，而另一些则没有。我们推导出 $C$ 型的任何正根都是某个 $\tau$-局部自由 $H$-模的秩向量。然而，反之通常不成立。我们的构造表明，当 $C$ 为 $\widetilde{\mathbb{B}}_n$、$\widetilde{\mathbb{CD}}_n$、$\widetilde{\mathbb{F}}_{41}$ 和 $\widetilde{\mathbb{G}}_{21}$ 型时，存在秩向量不是根的 $\tau$-局部自由 $H$-模，因此该猜想在这四种类型中不成立。