多尺度 Sobolev 空间中具有自适应混合核的分数阶神经算子的进展

本文通过整合自适应混合核与随机多尺度分析，引入了分数阶神经算子 的重大进展。我们通过建立四个基础定理解决了现有文献中的几个开放问题。首先，我们使用分数阶 Prokhorov 度量实现了 Riemann-Liouville 算子的精确偏差-方差分离，为处理微分方程中的非局部依赖性提供了稳健的框架。其次，我们证明了在 Besov-Morrey 空间中具有锐利收敛速率的 Lévy 正则化 Hadamard 稳定性，增强了 FNO 在重尾噪声过程下的稳定性。第三，我们通过在 RdRd 中实现具有各向异性 Hölder 正则性的张量化 RL-Caputo 收敛，克服了多元设置中的维数灾难。最后，我们开发了一种量子启发的分数阶梯度下降算法，显著改善了实际应用中的收敛速率。我们的证明采用了多相均匀化、Malliavin-Skorokhod 微积分和非局部散度定理等先进技术，确保了数学的严谨性与稳健性。通过在聚变等离子体湍流中的应用展示了我们工作的实际意义，其中我们的方法比最先进的 FNO 提高了 70%。这种增强在 ITER 托卡马克数据中的多重分形 $\delta B\delta B$ 场建模中尤为显著，其中各向异性惩罚对应于 Hasegawa-Wakatani 模型中的位涡级联速率，展示了其多功能性及更广泛应用的潜力。