通过有效场论分析傅里叶神经算子

傅里叶神经算子（Fourier Neural Operators，FNOs）已成为解决各种函数问题的领先代理算子，但其稳定性、泛化能力和频率行为缺乏原则性解释。我们对FNOs在无限维函数空间中的有效场论分析进行系统化研究，推导了层核和四点顶点的闭式递归关系，随后检讨了三个实际重要的情境——解析激活函数、尺度不变情况以及带残差连接的网络结构。理论表明，非线性激活函数不可避免地将频率输入耦合到那些被谱截断 otherwise 丢弃的高频模式，实验确认了这种频率迁移。对于宽网络，我们推导了明确的临界性条件，确保输入扰动在深度范围内保持均匀尺度，并通过实验确认，理论预测的核扰动比率与实际测量值相吻合。总体而言，我们的结果量化了非线性如何使神经算子能够捕捉非平凡特征，提供了通过临界性分析选择超参数的依据，解释了为何尺度不变激活函数和残差连接能够增强FNO中的特征学习。最后，我们将临界性理论转化为实际的准则匹配初始化（校准）程序；在标准PDEBench Burgers基准测试中，校准后的FNO在优化稳定性、收敛速度和测试误差方面均显著优于普通FNO。