代数中的抽象积分：余代数、Hopf代数与紧致群

我们在纯（余）代数框架下推广了紧致群和Hopf代数中积分存在唯一性的结果，并发现了一系列关于（拟）余Frobenius和半完美余代数的新结果。对于一个余代数$C$，我们引入了与右$C$-余模$M$相关的广义积分空间$\int_M=\Hom^C(C,M)$，并研究了对于所有$M$，“积分的唯一性”$\dim(\int_M)\leq \dim(M)$和“积分的存在性”$\dim(\int_M)\geq \dim(M)$与$C$的表示论性质（（拟）余Frobenius、半完美）之间的联系。我们证明了一个余代数是余Frobenius的当且仅当对于任意有限维$M$，积分的存在性和唯一性都成立。我们给出了紧致群表示函数余代数的$\int_M$的解释——它们将是“量子”不变的向量积分。作为应用，我们得到了余Frobenius余代数和Hopf代数已知刻画的新证明，以及Hopf代数中积分的唯一性。我们还给出了对无限维代数表示论的推论。我们提供了一类广泛的例子，表明本文的结果是最优的。这些例子随后被用来揭示文献中出现的各类重要余代数之间所有先前未知的联系。