基于双分次Tanaka延拓的2-非退化CR结构绝对平行性

近年来，Isaev-Zaitsev、Medori-Spiro和Pocchiola在最小可能维数（$\dim M=5$）下独立构造了超曲面型$2$-非退化CR流形$M$的绝对平行性，并且第一作者在$\dim M=7$的某些情形下也构造了。我们发展了Tanaka延拓过程的双分次类比，以在任意（奇）维数且Levi核为任意容许维数的这些CR结构上构造典范绝对平行性。我们引入双分次Tanaka符号的概念。在符号为Lie代数的正则性假设下，我们定义了Tanaka泛代数延拓的双分次类比，并证明对于任何具有给定正则符号的CR结构，在一个丛上存在典范绝对平行性，该丛的维数等于此双分次延拓的维数。我们证明存在唯一的（直至局部等价）这样的CR结构，其无穷小对称代数具有最大可能维数，且后者同构于该符号的双分次延拓的实部分。在$1$维Levi核的情形下，我们分类了所有正则符号并计算了它们的双分次延拓。在此情形下，正则符号可细分为幂零、强非幂零和弱非幂零。强非幂零符号的双分次延拓同构于$\mathfrak{so}\left(m,\mathbb C\right)$，其中$m=\tfrac{1}{2}(\dim M+5)$。该代数的任意实形式，除了$\mathfrak{so}\left(m\right)$和$\mathfrak{so}\left(m-1,1\right)$之外，对应于恰好一个强非幂零符号的双分次延拓的实部分。然而，对于固定的$\dim M\geq 7$，双分次延拓的维数在某个幂零正则符号上达到最大值，且该最大维数等于$\tfrac{1}{4}(\dim M-1)^2+7$。