反射群及其辫群的子群的阿贝尔化：在上同调中的应用

本文的最终结果给出了扩张 \xymatrix{1\ar[r] & P/[P,P] \ar^{j}[r] & B/[P,P] \ar^-{p}[r] & W \ar[r] & 1} 作为上同调群 $H^2(W,P/[P,P])$ 中一个元素的阶（其中 $B$ 和 $P$ 分别代表与复反射群 $W$ 相关联的辫群和纯辫群）。为了得到这个结果，我们描述了超平面 $H$ 的稳定化子 $N_H$ 的阿贝尔化。与 Coxeter 群的情形不同，$N_H$ 通常不是复反射群 $W$ 的反射子群。因此，第一步是改进关于反射群阿贝尔化的 Stanley-Springer 定理。第二步是描述 $W$ 的辫群 $B$ 中各类大子群的阿贝尔化。更准确地说，我们只需要一个从 $N_H$ 在 $p$ 下的原像到 $\QQ$ 的群同态（其中 $p : B \ra W$ 是典范态射），但稍微加强即可给出 $p^{-1}(W')$ 阿贝尔化的完整描述，其中 $W'$ 是 $W$ 的反射子群或超平面的稳定化子。我们还提出了对 $W$ 中反射的中心化子的每个元素的一种提升构造。