反射群、判别式几何与非交叉划分
群论
2010-10-22 v1 组合数学
摘要
当W是一个良好生成的复反射群时，W型非交叉划分格NCP_W是一个极其丰富的组合对象，它推广了n边形的非交叉划分概念。该结构出现在多个代数框架中（如双辫幺半群、簇代数等）。NCP_W的许多组合性质都是通过利用反射群的分类逐类证明的。Chapoton公式就是这样一个例子，它用W的不变次数表达了NCP_W格中给定长度多链的数量。本论文工作的动机是寻找该公式的几何解释，这可能导致对NCP_W的组合学与W的不变理论之间联系的统一理解。出发点是利用基于W判别式几何的Lyashko-Looijenga覆盖（LL）。在第一章中，改进了Bessis的一些拓扑构造，从而将LL的纤维与Coxeter元素的块分解联系起来。然后，我们证明了辫群B_n的Hurwitz作用在某些分解上的传递性。第二章致力于某些有限多项式扩张，以及关于其雅可比行列式和判别式的性质。在第三章中，将这些结果应用于由LL覆盖定义的扩张。我们推导出——通过一个无需分类的证明——关于W中Coxeter元素的次极大分解数量的公式，该公式用LL的判别式和雅可比行列式的不可约分量的齐次次数表示。
引用
@article{arxiv.1010.4349,
title = {Groupes de r\'eflexion, g\'eom\'etrie du discriminant et partitions non-crois\'ees},
author = {Vivien Ripoll},
journal= {arXiv preprint arXiv:1010.4349},
year = {2010}
}
备注
90 pages. PhD thesis for Universit\'e Paris Diderot-Paris 7, defended in July 2010. Introduction and Chapter 1 are in French, Chapters 2, 3 and appendices are in English