弱传输方法论中的 Schr"odinger-Bass 桥问题

我们研究 Schr"odinger-Bass 问题，这是一个由 $\beta>0$ 参数化的半鞅最优传输问题族，其极限情形在经典 Schr"odinger 桥、Brenier-Strassen 问题以及经过尺度变换后的鲁梅-贝纳-布雷尼（Bass）问题之间形成插值。我们的第一个主要结果是静态公式化。对于每个 $\beta>0$，我们证明动态 Schr"odinger-Bass 问题等价于一个具有显式成本 $C_{\mathrm{SB}}^\beta$ 的静态弱最优传输（WOT）问题。这通过 WOT 框架产生原始和对偶 attainability，以及对最优半鞅的结构特征化。成本 $C_{\mathrm{SB}}^\beta$ 通过对 Schr"odinger 成本进行不等式卷积和解卷积构造。在更广泛的设置中，我们展示不等式卷积保留 WOT 结构，并继承关于边际值的优化器以及随边际变化的连续性、 coercivity 和稳定性。基于此公式化，我们提出了一个 Sinkhorn 类型算法用于数值计算。我们建立双目标单调改进，并在边际满足适当可积性假设时，证明迭代收敛于唯一优化器。随后我们研究极限情形 $\beta\uparrow\infty$ 和 $\beta\downarrow0$。我们证明成本 $C_{\mathrm{SB}}^\beta$ 在点态下收敛于 Schr"odinger 成本，经过自然尺度变换后收敛于 Brenier-Strassen 和 Bass 成本。相应的价值和最优解被证明收敛于相应极限问题。