非线性生成式压缩感知中均匀信号恢复的统一框架

在生成式压缩感知(GCS)中，我们希望利用生成先验 $\mathbf{x}^*\in G(\mathbb{B}_2^k(r))$ 从 $m$ 次测量（$m\ll n$）中恢复信号 $\mathbf{x}^* \in \mathbb{R}^n$，其中 $G$ 通常为 $L$-Lipschitz连续生成模型，$\mathbb{B}_2^k(r)$ 表示 $\mathbb{R}^k$ 中半径为 $r$ 的 $\ell_2$-球。在非线性测量下，多数已有结果是非均匀的，即它们以高概率对固定的 $\mathbf{x}^*$ 成立，而非对所有 $\mathbf{x}^*$ 同时成立。本文构建一个统一框架，以推导观测模型为非线性且可能不连续或未知的非线性GCS的均匀恢复保证。我们的框架将带有1-bit/均匀量化观测的GCS以及单指标模型作为典型示例予以兼容。具体而言，利用传感集合的单一实现与广义Lasso，使用大致 $\tilde{O}({k}/{\epsilon^2})$ 个样本即可将 {\em 所有} $\mathbf{x}^*\in G(\mathbb{B}_2^k(r))$ 恢复到至多 $\epsilon$ 的 $\ell_2$-误差，被略去的对数因子通常由 $\log L$ 主导。值得注意的是，这在对数因子范围内几乎与已有非均匀保证一致，因此均匀性的代价极小。作为技术贡献的一部分，我们引入Lipschitz近似以处理不连续观测模型。我们还发展了可为索引集具有低度量熵的乘积过程产生更紧界浓度的不等式。实验结果为我们的理论提供了佐证。