超越独立测量：带生成神经网络应用的通用压缩感知

我们考虑从含噪线性观测 $\mathbf{y} =\mathbf{M} \mathbf{x}+\mathbf{w}$ 中恢复结构化信号 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 的问题。测量矩阵建模为 $\mathbf{M} = \mathbf{B}\mathbf{A}$，其中 $\mathbf{B} \in \mathbb{R}^{l \times m}$ 是任意的，$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 具有独立的亚高斯行。通过改变 $\mathbf{B}$ 以及 $\mathbf{A}$ 的亚高斯分布，这给出了一族测量矩阵，其可能具有重尾、相关的行与列，以及动态范围很大的奇异值。当结构给定为可能非凸的锥 $T \subset \mathbb{R}^{n}$ 时，若有效测量数足够，即使存在模型失配，近似经验风险最小化器也被证明是一个鲁棒估计器。在具有独立（亚）高斯测量的经典压缩感知中，人们会问需要多少测量才能恢复 $\mathbf{x}$？然而在我们的设定中，有效测量数依赖于 $\mathbf{B}$ 的性质。我们表明，$\mathbf{B}$ 的有效秩可用作测量数的替代，若其超过 $(T-T) \cap \mathbb{S}^{n-1}$ 的高斯平均宽度的平方，则保证精确恢复。此外，我们详细考察了生成先验的特殊情形，即当 $\mathbf{x}$ 接近 $T = \mathrm{ran}(G)$ 且 $G: \mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R}^n$ 是具有 ReLU 激活函数的生成神经网络（GNN）时。我们的工作依赖于 Jeong、Li、Plan 和 Yilmaz 在 arXiv:2001.10631 中随机矩阵理论的最新结果。