高斯噪声稳定性亏量的双边估计

集合 $A \subset \mathbb{R}^n$ 的高斯噪声稳定性定义为 $S_\rho(A) = P (X \in A \text{ and } Y \in A)$，其中 $X$ 和 $Y$ 是相关系数为 $\rho$ 的标准高斯向量。Borell 不等式指出，对于所有 $0 < \rho < 1$，在具有给定高斯测度的所有集合 $A$ 中，当 $A$ 为半空间时，量 $S_\rho(A)$ 达到最大。我们基于随机微积分给出了这一事实的一种新颖且简短的证明。此外，我们证明了该不等式的一个几乎紧致的、双边的、无维度的鲁棒性估计：通过引入一种新的度量来衡量集合 $A$ 与其对应半空间 $H$ 之间的距离（即两个质心之间的距离），我们表明亏量 $S_\rho(H) - S_\rho(A)$ 可以从下方和上方由 essentially 相同的距离函数控制，最多相差对数因子。作为推论，我们也确立了 Mossel-Neeman 所证明的鲁棒性估计中的猜想指数，该估计使用全变差距离作为度量。在 $\rho\to1$ 的极限下，我们得到了高斯等周不等式的改进无维度鲁棒性界。我们的估计也适用于考虑多于两个相关向量的更一般稳定性版本。