量子最大割的唯一博弈困难性，及一个猜想的向量值 Borell 不等式

函数 $f:\mathbb{R}^n \to \{-1, 1\}$ 的高斯噪声稳定性是 $f(\boldsymbol{x}) \cdot f(\boldsymbol{y})$ 在 $\rho$-相关高斯随机变量 $\boldsymbol{x}$ 和 $\boldsymbol{y}$ 上的期望值。Borell 不等式指出，对于 $-1 \leq \rho \leq 0$，该值由半空间 $f(x) = \mathrm{sign}(x_1)$ 最小化。在本工作中，我们将此结果推广到输出 $k$ 维单位向量的函数 $f:\mathbb{R}^n \to S^{k-1}$。我们的主要猜想，称之为 $\textit{向量值 Borell 不等式}$，断言 $\langle f(\boldsymbol{x}), f(\boldsymbol{y})\rangle$ 的期望值由函数 $f(x) = x_{\leq k} / \Vert x_{\leq k} \Vert$ 最小化，其中 $x_{\leq k} = (x_1, \ldots, x_k)$。我们给出若干支持该猜想的证据，包括证明其在 $n = k$ 的特殊情形下确实成立。作为该猜想的一个应用，我们表明它蕴含与反铁磁 Heisenberg 模型（称为量子最大割）相关的局部哈密顿量问题特殊情形的若干近似困难性结果。这可视为经典最大割问题的自然量子类比，并已被提议作为开发算法的有用试验台。在假设我们的猜想下，我们展示如下：(1) 基本 SDP 的积分间隙为 $0.498$，与现有舍入算法匹配。结合已有结果，这表明基本 SDP 未达成最优近似比。(2) 计算最佳乘积态值的 $(0.956+\varepsilon)$-近似是 Unique Games-困难的（UG-困难的），与现有近似算法匹配。(3) 计算最佳（可能纠缠）态值的 $(0.956+\varepsilon)$-近似是 UG-困难的。