小相关性下三候选人多元多数猜想的最稳定性

利用变分法，我们证明以下关于噪声稳定划分的结构定理：将$n$维欧氏空间划分为$m$个具有固定高斯体积的互不相交集合以最大化其噪声稳定性时，该划分必须是$(m-1)$维的（若$m-1\leq n$）。特别地，对于满足$n\geq m-1$的所有$n$，$\mathbb{R}^{n}$中固定高斯体积的$m$集合划分的最大噪声稳定性为常数。由此结果，我们得到：(i) 在每位候选人胜出机会均等时，对$3$候选人选举的多元多数最稳定猜想（Plurality is Stablest Conjecture）的证明，适用于所有满足$0<\rho<\rho_{0}$的相关性参数$\rho$，其中$\rho_{0}>0$为不依赖于维数$n$的固定常数。(ii) Borell不等式（对应$m=2$的情形）的变分证明。该结构定理回答了De-Mossel-Neeman以及Ghazi-Kamath-Raghavendra的一个问题。条目(i)是Khot-Kindler-Mossel-O'Donnell (2005)的多元多数最稳定猜想在固定$\rho$下任何情形的首个证明，而$\rho\to1^{-}$的情形近期才被解决。条目(i)也是假设唯一博弈猜想（Unique Games Conjecture）下Frieze-Jerrum半定规划求解MAX-3-CUT最优性的首个证据。在(i)中若不假设每位候选人胜出机会均等，则已知多元多数最稳定猜想不成立。