一维离散代际集成卡尔曼粒子滤波器的理论分析

尽管离散代际集成卡尔曼粒子滤波方法在求解非线性和高维滤波及反问题中被广泛使用，人们对其数学基础却知之甚少。如同遗传型粒子滤波器（亦称序贯蒙特卡洛），这类集成型方法也可被解释为卡尔曼-布西滤波方程的平均场粒子近似。与配备全局利普希茨交互漂移型函数的常规平均场型交互粒子方法不同，集成卡尔曼滤波器依赖于一个以粒子样本协方差定义的非线性和二次型交互函数。应用数学与计算机科学领域关于这些复杂交互粒子方法的文献大多致力于设计不同类别的可用观测器型粒子方法。这些方法基于各种不一致但审慎的集成辅助变换，或引入额外的膨胀/局部化型算法改进，以避免在粒子集成规模不足时求解不稳定信号滤波问题所固有的时间退化。据我们所知，关于这些复杂离散代际粒子滤波器的首个也是唯一严格的数学分析由 Le Gland-Monbet-Tran 以及 Mandel-Cobb-Beezley 在2010年代初发表的开创性文章给出。然而，除证明集成卡尔曼滤波器的渐近一致性外，这些研究给出的均值误差估计极为悲观，即便对于具有稳定一维信号的线性高斯滤波问题，也会随时间范围呈指数级快速增长。本文对这些离散代际集成卡尔曼粒子滤波器的涨落、稳定性与长期性能，发展了一种新颖、自洽且完整的随机扰动分析，包括适用于可能不稳定信号的时间一致非渐近均值误差估计。据我们所知，这些是离散代际粒子滤波器文献中（含遗传型粒子滤波器与离散代际集成卡尔曼滤波器类）的首批此类结果。本文所研究的随机里卡蒂差分方程本身亦具独立意义，可作为新型随机有理差分方程的原型。