通过 Gorenstein 环证明的 Gordan 与 Noether 定理

Gordan 与 Noether 在其基本定理中证明：当 $n\leq 3$ 时，超曲面 $X=V(F)\subseteq \mathbb{P}^n$ 为锥当且仅当 $F$ 的 Hessian 矩阵行列式（即 Hessian）为零。他们还给出了一些反例，表明当 $n\geq 4$ 时该命题不成立。自其证明问世以来，文献中已提出若干其他证明。本文采用一种不同的视角给出一个新的证明，该视角涉及标准 Artinian Gorenstein $\mathbb{K}$-代数与 Lefschetz 性质的研究。作为我们框架的进一步应用，我们证明：由二次型正则序列生成的理想 $J$ 所定义的标准 Artinian Gorenstein 代数 $R=\mathbb{K}[x_0,\dots,x_4]/J$ 具有强 Lefschetz 性质。特别地，这对于光滑三次三维簇的 Jacobian 环成立。