环面三维流形中曲面的 Noether-Lefschetz 轨迹

Noether-Lefschetz 定理断言，在 $\mathbb P^3$ 中一个次数 $d \geq 4$ 的非常一般的曲面 $X$ 上的任何曲线都是外围空间中某个曲面的限制，即 $X$ 的 Picard 数为 $1$。我们先前证明了，在某些条件下（这些条件替代了条件 $d \geq 4$），一个单纯环面三维流形 $\mathbb P_\Sigma$（具有轨形奇点）中的非常一般曲面具有与 $\mathbb P_\Sigma$ 相同的 Picard 数。在此，我们定义了 $\mathbb P_\Sigma$ 中拟光滑曲面在一个关于 (-1)-正则（相应地 0-正则）丰沛 Cartier 除子的 Cartier 丰沛除子线性系统中的 Noether-Lefschetz 轨迹，并给出了它们余维数的界。我们还研究了 Noether-Lefschetz 轨迹中包含一条线的分量，该线被定义为在适当意义下“极小”的有理曲线。