图形 matroid 的 Lefschetz 性质失效

我们考察标准齐次 Artinian Gorenstein 代数数的强 Lefschetz 性质。这种代数具有由微分多项式环的商代数形式，取决于某个齐次多项式的消元。通过该齐次多项式的高阶 Hessian 矩阵的非退化性，可以 characterize 这种代数的强 Lefschetz 性质。Maeno 和 Numata 猜想称，如果这种代数由任何 matroid 的基生成多项式定义，则它具有强 Lefschetz 性质。针对该猜想，我们给出与图形 matroid 相关的反例。我们通过构造该矩阵的核中的非零元素来证明高阶 Hessian 矩阵的退化。