具有 $k$ 个分支的树生成函数之 Hessian 矩阵的特征值

考虑图 $\Gamma$ 的图拟阵的秩为 $r$ 的截断拟阵 $M_{\Gamma}^{r}$。$M_{\Gamma}^{r}$ 的基是 $\Gamma$ 中具有 $r$ 条边的森林集合。我们考虑该基生成函数并计算其 Hessian。本文中，我们通过计算 Hessian 矩阵的特征值，证明完全图或完全二部图的图拟阵的截断拟阵的基生成函数的 Hessian 不消失。此外，我们证明完全图或完全二部图的图拟阵的截断拟阵的基生成函数的 Hessian 矩阵恰有一个正特征值。作为一个应用，我们展示了与截断拟阵相关的 Artinian Gorenstein 代数的强 Lefschetz 性质。