完全图与完全二部图的 Hessian 矩阵特征值

本文中，我们考虑完全图与完全二部图的 Hessian 矩阵 $H_{\Gamma}$，以及对所有 $x_{i}$ 取 $x_{i}=1$ 时 $\tilde H_{\Gamma}$ 的特殊值。我们计算了 $\tilde H_{\Gamma}$ 的特征值。我们证明其中一个为正，其余为负。换言之，关于对称矩阵 $\tilde H_{\Gamma}$ 的度量是洛伦兹型的。因此那些 Hessian 行列式 $\det (H_{\Gamma})$ 不恒为零。作为应用，我们展示了对应于至多五个顶点的完全图与完全二部图图拟阵的 Artinian Gorenstein 代数的强 Lefschetz 性质。