广义 Painlevé–Ince 方程性质的系统分析

我们考虑广义 Painlevé–Ince 方程，\begin{equation*} \ddot{x}+\alpha x\dot{x}+\beta x^{3}=0 \end{equation*} 并从对称分析与奇点分析两方面进行详细研究。当自由参数满足 $\beta =\alpha ^{2}/9~$ 时，该微分方程具有最大对称性，且已知其通过 Painlevé 检验。对于任意参数，我们发现仅存在两个 Lie 点对称，可用于将该微分方程约化为一个代数方程。然而，广义 Painlevé–Ince 方程未通过 Painlevé 检验，除非我们对由变量代换 $x=1/y$ 得到的新的二阶微分方程应用奇点分析。我们得出结论：Painlevé–Ince 方程在 Lie 对称与 Painlevé 检验意义下是可积的。