高阶马尔可夫链具有唯一不变分布的充分条件

我们推导了具有有限字母表 $\mathcal{Z}$ 的 $k$ 阶齐次马尔可夫链 $\mathbf{Z}$ 在 $\mathcal{Z}^k$ 上具有唯一不变分布的充分条件。具体而言，设 $\mathbf{X}$ 为具有有限字母表 $\mathcal{X}$ 和单一常返类的平稳一阶马尔可夫链，设 $g{:}\ \mathcal{X}\to\mathcal{Z}$ 为非单射，并定义（可能非马尔可夫的）过程 $\mathbf{Y}:=g(\mathbf{X})$（其中 $g$ 按坐标逐一作用）。若 $\mathbf{Z}$ 是 $\mathbf{Y}$ 的 $k$ 阶马尔可夫近似，则其不变分布是唯一的。我们将此结果推广到非马尔可夫过程 $\mathbf{X}$。