离散相互作用粒子系统的不变测度：代数方面

考虑连续时间粒子系统 $\eta^t=(\eta^t(k),k\in \mathbb{L})$，由格 $\mathbb{L}$ 索引，该格为 $\mathbb{Z}$、$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$、线段 $\{1,\cdots, n\}$ 或 $\mathbb{Z}^d$，取值于集合 $E_{\kappa}^{\mathbb{L}}$，其中 $E_{\kappa}=\{0,\cdots,\kappa-1\}$ 对某个固定的 $\kappa\in\{\infty, 2,3,\cdots\}$。假设粒子系统（PS）的马尔可夫演化由某个具有有界范围的平移不变局部动力学驱动，由跳跃率矩阵 $T$ 编码。这些是标准设定，被 TASEP、选民模型、接触过程等满足。本文旨在给出矩阵 $T$ 上的一些充分和/或必要条件，使得该马尔可夫过程承认某些简单不变分布，如乘积测度（若 $\mathbb{L}$ 为上述任一空间）、作为由 $\mathbb{Z}$ 或 $[0,n]\cap \mathbb{Z}$ 索引的马尔可夫过程律（若 $\mathbb{L}=\mathbb{Z}$ 或 $\{1,\cdots,n\}$），或 Gibbs 测度（若 $\mathbb{L}=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$）。由此产生多重应用：为给定跳跃率矩阵寻找不变马尔可夫律或证明不存在的有效方法。选民模型和接触过程被证明不拥有任何马尔可夫律作为不变分布（对任意记忆 $m$）脚注：通常，由 $\mathbb{Z}$ 或 $\mathbb{N}$ 索引的随机过程 $X$ 被称为具有记忆 $m\in\{0,1,2,\cdots\}$ 的马尔可夫链，若对任意 $k$ 有 $\mathbb{P}(X_k \in A ~| X_{k-i}, i \geq 1)= \mathbb{P}(X_k \in A ~| X_{k-i}, 1\leq i\leq m)$。}。我们也证明一些接近这些模型的模型拥有。我们展露了以隐马尔可夫链为不变分布的 PS，并设计了 $\mathbb{Z}^2$ 上许多以 $2\times 2$ 方块索引跳跃率的 PS，其承认乘积不变测度。