关于 2 型同构循环图的研究。第一部分：关于 m = 2 的 2 型同构循环图 $C_n(R)$

本研究是关于 2 型同构循环图的详细研究的第一部分，该研究共有十个部分 \cite{v2-1}-\cite{v2-10}。如果存在某个 $a\in \mathbb{Z}_n^*$ 使得在模 $n$ 的算术自反下 $S = a R$，则称循环图 $C_n(R)$ 和 $C_n(S)$ 是 \emph{Adam 同构}的 \cite{ad67}。在本文中，作者修改了他早期关于 $m$ 的 2 型同构的定义 \cite{v96}，使得 $m$ 和 $m^3$ 分别是 $\gcd(n, r)$ 和 $n$ 的除数，且 $r\in R$。利用修改后的定义，我们给出了关于 $m$ = 2 的循环图 $C_n(R)$ 的 2 型同构的研究。我们证明了：$(i)$ $C_{16}(1,2,7)$ 和 $C_{16}(2,3,5)$ 是关于 $m$ = 2 的 2 型同构的；$(ii)$ 对于 $n \geq 2$, $k \geq 3$, $1 \leq 2s-1 \leq 2n-1$, $n \neq 2s-1$, $R$ = $\{2, 2s-1, 4n-(2s-1)\}$ 和 $S$ = $\{2, 2n-(2s-1), 2n+2s-1\}$，$C_{8n}(R)$ 和 $C_{8n}(S)$ 是关于 $m$ = 2 的 2 型同构的，其中 $n,s\in\mathbb{N}$；以及 $(iii)$ 对于 $n \geq 2$, $1 \leq 2s-1 < 2s'-1 \leq [\frac{n}{2}]$, $0 \leq t \leq [\frac{n}{2}]$, $R$ = $\{2,2s-1, 2s'-1\}$ 且 $n,s,s'\in \mathbb{N}$，如果对于某个 $t$，$\theta_{n,2,t}(C_n(R))$ 和 $C_n(R)$ 是关于 $m$ = 2 的 2 型同构循环图，那么 $n \equiv 0~(mod ~ 8)$, $2s-1+2s'-1$ = $\frac{n}{2}$, $2s-1 \neq \frac{n}{8}$, $t$ = $\frac{n}{8}$ 或 $\frac{3n}{8}$, $1 \leq 2s-1 \leq \frac{n}{4}$ 且 $n \geq 16$，其中 $\theta_{n,m,t}$ 是用于定义循环图的 2 型同构的一个变换。最后，我们展示了一个 VB 程序 POLY215.EXE，它展示了对于 $R = \{2, 2s-1, 4n-(2s-1)\}$, $n \geq 2$ 且 $n,s\in {\mathbb N}$，$C_{8n}(R)$ 关于 $m$ = 2 的 2 型同构是如何发生的。