二类同构循环图研究。第10部分：关于 $m$ = $p$ 及相关群的二类同构 $C_{np^3}(R)$

本研究是关于二类同构循环图详尽研究的第 $10$ 部分，共十部分 \cite{v2-1}-\cite{v2-10}。本部分中，我们得到关于 $m$ = $p$ 的二类同构循环图族 $C_{np^3}(R)$ 及相关阿贝尔群，其中 $p$ 为素数且 $n\in\mathbb{N}$。其主要定理证明：对 $i$ = 1 至 $p$，循环图 $C_{np^3}(R^{np^3,x+yp}_i)$ 关于 $m$ = $p$ 为二类同构，且构成阿贝尔群 $(T2_{np^3,p}(C_{np^3}(R^{np^3,x+yp}_i)), \circ)$，其中 $T2_{np^3,p}(C_{np^3}(R^{np^3,x+yp}_i))$ = $\{\theta_{np^3,p,jn}(C_{np^3}(R^{np^3,x+yp}_i))$ = $C_{np^3}(R^{np^3,x+yp}_{i+j}) :$ $j$ = $0,1,...,p-1$，且 $C_{np^3}(R^{np^3,x+yp}_{i+j})$ 中的 $i+j$ 按模 $p$ 加法计算 $\}$， $1 \leq x \leq p-1$， $0 \leq y \leq np - 1$， $1 \leq x+yp \leq np^2-1$， $y\in\mathbb{N}_0$， $p,np^3-p\in R^{np^3,x+yp}_i$ 且 $i,n,x\in\mathbb{N}$。据此，附录中给出了 $T2_{np^3,p}(C_{np^3}(R^{np^3,x+yp}_i))$ 的列表，每个包含 $p$ 个关于 $m$ = $p$ 二类同构的循环图 $C_{np^3}(R^{np^3,x+yp}_i)$，对应 $p$ = 3,5,7、 $n$ = 1,2 及 $y$ = 0，更多此类二类同构循环图族见 \cite{v24}。