双循环图的哈密顿问题：关于循环Haar图的归约

双循环图是一种具有两种相同规模顶点轨道的自同构图。双循环图可描述如下：给定整数 $m \ge 1$ 和集合 $R, S, T \subseteq \mathbb Z_m$，满足 $R=-R$，$T=-T$，$0 \not\in R \cup T$ 且 $0 \in S$，图 $B(m;R,S,T)$ 的顶点集为 $V=\{u_0,\dots,u_{m-1},v_0,\dots,v_m-1\}$，边集为 $E=\{u_iu_{i+j}| \ i \in\mathbb Z_m, j \in R \} \cup \{v_iv_{i+j}| \ i \in\mathbb Z_m, j \in T \} \cup\{u_iv_{i+j}| \ i \in\mathbb Z_m, j \in S \}$。当 $R=T=\emptyset$ 时的双循环图称为循环Haar图。2025 年我们 conjectured（猜想）的是：在度大于一的正则连通双循环图中，唯一非哈密顿图是满足 $m \equiv 5 \pmod 6$ 的广义 Petersen 图 $G(m,2)$。最近我们验证了该猜想对 $|S|\le 2$ 的双循环图以及 $|R|=|T|$ 为奇数的双循环图。本文我们证明该猜想对所有 $|S| \le 3$ 的双循环图以及所有 $|S| \ge 4$ 且 $m/\gcd(m, S)$ 为偶数的双循环图都成立。作为本研究的副产品，我们证明了每个顶点数为 $2m$ 的连通双循环图在 $|S| \ge 4$ 时，对偶数 $m<9\,240$ 以及奇数 $m<3\,465$ 都是哈密顿的。最后，我们表明，每张连通循环Haar图的哈密顿环（若其度数至少为4）意味着每个连通双循环图的度数至少为4都是哈密顿的。