模的广义分式长度函数的研究

设 $(R, \frak m)$ 为诺特局部环，$M$ 为维数 $d$ 的有限生成 $R$-模。设 $\underline{x} = x_1, ..., x_d$ 为 $M$ 的参数系，$\underline{n} = (n_1, ..., n_d)$ 为正整数 $d$-元组。在本文中，我们研究了由 Sharp 和 Hamieh 在 \cite{ShH85} 中引入的广义分式 $M (1/(x_1, ..., x_d, 1))$ 的长度。首先，我们研究函数 $J_{\underline{x}, M}(\underline{n}) = \ell(M (1/(x_1^{n_1}, ..., x_d^{n_d}, 1))) - n_1...n_d e(\underline{x};M)$ 的增长性。随后，我们在 $M$ 允许 Macaulayfication 的情况下，给出了函数 $J_{\underline{x}, M}(\underline{n})$ 的显式计算。此前关于该主题的大多数结果现在变得易于理解且易于改进。