具有学习规则的结构化神经网络 Fokker-Planck 方程的保结构数值格式

在本工作中，我们关注与生物神经网络的非线性噪声漏电积分发放模型相关的 Fokker-Planck 方程，该网络以突触权重为结构并由 Hebbian 学习规则配置。该方程包含一个分离神经系统学习和反应行为时间尺度的小参数 $\varepsilon$，通过令 $\varepsilon\to 0$ 可以导出一个渐近极限模型，其中微观准稳态与宏观演化方程通过总发放率耦合。为了在统一框架内处理赋予的通量位移结构和多尺度动力学，我们为该方程提出了一种保持质量守恒、无条件保持正性且保持渐近性的数值格式。我们提供了广泛的数值测试以验证该格式的性质，并开展了一组数值实验以研究模型的学习能力，同时探索了当神经网络处于兴奋状态时解的行为。