相互作用的 $k$-体费米子嵌入高斯系综最大本征值向 Tracy-Widom 分布的平滑过渡

尽管简单,中心极限定理却捕捉了数学物理中最引人注目的现象之一,即普适性。虽然这一经典结果已被充分理解,但当随机变量变得相关时,这种普适行为会发生什么仍不甚清楚。随机矩阵的本征值集合为研究新普适性质的涌现提供了一个富有成效的数学实验室。在这方面,利用标准随机矩阵系综并聚焦于极端本征值分布已做了大量工作。此时,最大或最小本征值的分布偏离 Fisher-Tippett-Gnedenko 定理,给出著名的 Tracy-Widom 分布。人们可能再次想知道,当本征值间的相关性改变时,由 Tracy-Widom 分布捕捉的这一新普适行为有多稳健。对这一尖锐问题给出的答案甚少,而本工作的意图即为贡献于这一有趣且未被探索的领域。因此,我们在稀释极限下数值研究了相互作用的 $k$-体费米子正交与酉嵌入高斯系综的归一化最大本征值的概率分布。我们发现,对于小的 $k/m$,分布从略微不对称的类高斯分布平滑过渡到当 $k/m\to 1$ 时的 Tracy-Widom 分布,其中 $k$ 为相互作用的秩,$m$ 为费米子数。能谱边缘的相关性在小的 $k/m$ 值下更强,且与所考虑的粒子数无关。我们的结果表明,在稀释极限下,朝向能谱边缘的细微相关性使得相互作用多体系统的能谱统计性质区别于标准随机矩阵系综的预期。