涵盖η-厄米特性的四个实四元数矩阵的同时分解及其应用

设 $\mathbb{H}$ 为实四元数代数，$\mathbb{H}^{m\times n}$ 表示 $\mathbb{H}$ 上所有 $m\times n$ 矩阵的集合。设 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ 为虚四元数单位。对于 $\eta\in\{\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\}$，若 $A^{\eta*}=A$（其中 $A^{\eta*}=-\eta A^{\ast}\eta$，且 $A^{\ast}$ 表示 $A$ 的共轭转置），则实四元数方阵 $A$ 称为 $\eta$-厄米特矩阵。本文构造了四个具有相同行数的实四元数矩阵 $(A,B,C,D)$ 的同时分解，其中 $A=A^{\eta*}\in \mathbb{H}^{m\times m}, B\in \mathbb{H}^{m\times p_{1}},C\in \mathbb{H}^{m\times p_{2}},D\in \mathbb{H}^{m\times p_{3}}$。作为该同时矩阵分解的应用，我们根据系数矩阵的秩，导出了涉及 $\eta$-厄米特性的某些实四元数矩阵方程有解的充要条件。我们还给出了这些实四元数矩阵方程的通解。此外，我们提供了一些数值例子来说明我们的结果。